Prímszámok

Egy fogalom, aminek az ismerete nélkül nem ülhetünk be az érettségi vizsgára: a prím szám. Nem vagy benne biztos, mi az? Íme egy kis felvilágosítás!

A prím (vagy törzsszám) fogalmát valószínű, hogy már az egyiptomi és mezopotámiai ókori kultúrák is ismerték. Tudomásunk szerint a számok és közöttük a prímszámok első, tervszerű tanulmányozói a püthagoreusok voltak (i.e. 500-350).
A törzsszámokra először Eukleidész-nél találunk pontos meghatározást. Olyan számok ezek, írja, melyek "csak az egységgel" mérhetők. Azt is bizonyította, hogy végtelen sok törzsszám van.
A törzsszámok kiválasztására Eratoszthenész mutatott ötletes eljárást (Eratoszthenész szitája).
Korán felvetődött az a kérdés, hogy a prímszámok miként oszlanak el a természetes számok között. Az első sejtés a 15 éves Gauss-tól származik. Logaritmustábláját nézegetve észrevette, hogy az ezres számkörben a prímszámok száma, fordítottan arányos a számok logaritmusával…
Jelöljük az "n" természetes számnál nem nagyobb prímszámok számát x(n)-nel. Legendre, aki már 1.000.000-ig vizsgálta át a prímszámok előfordulását, úgy tapasztalta, hogy
x(n) = 1 / (ln(n) -1,08366)
Csebisev kimutatta, hogy ez a képlet helytelen, és igazolta, hogy az x(n) függvény nagyságrendje úgy növekszik, mint az "n / ln(n)" , és az "x(n) / (n / ln(n))" hányados számára alsó és felső korlátot állapított meg.
Ezt a becslést 1882-ben Sylvester angol, majd 1929-ben Issai Schur német matematikus pontosabbá tette.
Csebisev arra is rájött, hogy az x(n) függvény értékei egy határozott integrál értékei körül oszcillálnak. Ezt az eredményt használta fel 1896-ban Vallée Poussin és Hadamard, egymástól függetlenül, hogy bizonyítsák, az ún. prímszámtételt.
Megoldatlan még az ikerprímszámok kérdése. Sejtésünk szerint végtelen sok ikerprímszám van. A valószínűség számítás eszközeivel, bizonyos, nem igazoltan teljesülő feltételek esetén úgy tűnik, hogy 0 és n között, n / (ln(n))2 számú prímpár található.
A prímszámok jelentősége, napjainkban igen megnövekedett, mert a titkosításban (kódolásban) kulcsszerepet játszanak…

Forrás: erdekesmatek.freebase.hu